「2020 年は数学を頑張る」の一環でマセマのキャンパス・ゼミシリーズを解き進めています。そして今日やっと一冊目『大学基礎数学 線形代数 キャンパス・ゼミ』が終わりました。1 月中旬に始めてから何だかんだ色々あって二ヶ月もかかってしまいました。

マセマ公式のロードマップ (サクセスロード) に従い次は『線形代数 キャンパス・ゼミ』に進みます。次はもう少し早く終わらせたい・・・

内容とメモ

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講義 1 : 複素数平面

• §1. 複素数平面の基礎：複素数の導入、複素数平面へのマップ、実数条件と純虚数条件、極形式、ド・モアブルの定理、など。
• §2. 複素数と平面図形：複素数とベクトルの対応、内分点・外分点の公式、円の方程式、円と直線の方程式、回転と相似変換、など。
  • 演習 9 の「点 2 を点 z のまわりに 90° だけ回転・・・」の点 2 が何を意味しているのか理解するのに少し時間がかかった (2+0i のことだった)
• §3. 複素指数関数・対数関数：オイラーの公式、ネイピア数の図形的な意味、複素指数関数と複素対数関数の定義、複素数のべき乗の計算、など。

講義 2 : 行列と 1 次変換 [線形代数入門 (I)]

• §1. ベクトルの復習：ベクトルの導入、内積、成分表示、平面ベクトルと空間ベクトル、正射影ベクトル。
• §2. 行列の基本：行列の導入、単位行列と零行列、行列式と逆行列、行列による二元一次方程式の解法 (不定解と解なし)、ケーリーハミルトンの定理とそれによる次数下げ、xA=yE 形による解法、など。
  • 行列 (matrix) の添字による成分指定は行 (row) が先か列 (column) が先か分からなくなっても「行列」という名前からすぐに思い出せるけど、英語名の matrix だとその手が使えなくて大変そう。
  • p.63 「行列の型」というワードが使われていて途端に親近感が湧いてくる。
• §3. 行列と 1 次変換：x 軸 / y 軸 / 原点 / y = x に関する対称移動、回転行列、直線 y = tanθ・x に関する対称移動、逆行列による 1 次変換後の図形の求め方、逆行列を持たない行列による 1 次変換 (直線と点の対応)、など。
• §4. 2 次正方行列の n 乗計算：典型的な n 乗計算 (A^2 = kA、対角行列、ジョルダン細胞、回転行列)、ケーリーハミルトンの定理と特性方程式を使った解法、サンドイッチ型 (P^-1AP) の解法、複素行列の n 乗計算、など。
  • 例題 22 のケーリーハミルトンの定理を使った n 乗計算 (A に x, E に 1, O に 0 を代入するあたり) がよく分からなかったんだけど、やってればそのうち分かるようになる？
• §5. 固有値と固有ベクトル：固有値・固有ベクトルの定義、対角化、(複素) 正方行列におけるそれらの求め方、など。

講義 3 : 3 次の正方行列 [線形代数入門 (II)]

• §1. 3 次正方行列の行列式：3 次正方行列の基本計算、行列式とサラスの公式、転置行列の行列式、行列式の各種性質 (行または列の入れ替えや足し引き etc)、など。
• §2. 連立 1 次方程式と逆行列：掃き出し法を使った 3 元 1 次連立方程式の解法と逆行列の計算、行列のランク、など。
• §3. 3 次の正方行列 [線形代数入門 (II)]：3 次正方行列と 3 次複素正方行列 (エルミート行列) の対角化。